Банановый торт с новым годом, самый вкусный рецепт медового торта со сметанным кремом. | По профильной технике безопасности подробно. инцест

   Вступление   Главы  1  2  3  4  5  6  7   Приложения  А  Б  

Глава 2. Вычисление производных (продолжение)


    Решение задачи
    Здесь переменная среды % ссылается на результат выполнения предыдущего действия, т.е. на параметрическую зависимость для второй производной от у по х. Теперь полученное выражение упрощаем....
    Решение задачи
    Хотелось бы еще раз обратить внимание на принципиальный момент в определении использованной выше процедуры: данная процедура, по сути, является оператором (ее результат — это не число или выражени...
    Вычисление пределов
    Для вычисления пределов используют процедуру limit(). В качестве аргументов указывают выражение и то значение, к которому стремится переменная. Данная процедура имеет также и неактивную форму (та...
    Задача 2.15
    Определить значение выражения...
    Решение задачи
    Выражение с неактивной формой процедуры в левой части команды необходимо для символьного представления предела....
    Задача 2.16
    Определить значение выражения В данном случае сначала следует наложить ограничение на переменную е. Иначе вычислительное ядро Maple попытается найти предел для произвольного значения этого парамет...
    Решение задачи
    Стоит также обратить внимание на то, как в качестве значения переменной указана бесконечность (в Maple infinity — это стандартное обозначение для бесконечности)....
    Задача 2.17
    Определить значение выражения Ничего принципиально нового в этом примере нет. Однако он наглядно демонстрирует возможности Maple. Дело в том, что если вычислять такой предел без использования Mapl...
    Решение задачи
    Как и ранее, в левой части равенства неактивная форма процедуры Limit () используется для символьного отображения предела, в то время как процедура limit () в правой части равенства необходима неп...
    Экстремум функции
    Исследование функции на экстремум подразумевает, как известно, нахождение производной и определение точек, в которых эта производная равна нулю. Далее, по знаку второй производной в найденных точк...
    Задача 2.18
    Исследовать на экстремум функцию у(х) = хm(1-х)n. Сначала определим саму функцию....
    Решение задачи
    Затем найдем ее производную....
    Решение задачи
    Последняя как несложно проверить, равна следующему....
    Решение задачи
    Выражение можно было бы упростить, но для решения поставленной задачи это не представляется необходимым. Далее определяем точки, в которых производная равна нулю. Воспользуемся процедурой solve(),...
    Решение задачи
    В данном случае экстремум предполагается только в одной точке — в ней производная равна нулю. Это легко проверить. Поступим следующим образом....
    Решение задачи
    Выше переменной х присвоено значение, при котором производная функции должна равняться нулю. Переменная m возвращает значение производной в точке х, а этой переменной только что было присвоено зна...
    Решение задачи
    Полученное выражение достаточно громоздко, однако вводить в заблуждение это не должно. После упрощения получаем, как и ожидалось, нуль....
    Решение задачи
    Для определения типа экстремума нужно определить значение второй производной в этой точке. Вторая производная равна:...
    Решение задачи
    В этом случае вместо переменной х использована новая переменная t. Объясняется это довольно просто — переменной х было присвоено значение, после чего она, так сказать, стала числом. По числу диффе...
    Решение задачи
    Переменная среды %% возвращает результат выполнения предпоследней команды, т.е. значение второй производной, но уже в нужной точке (по-скольку предьщущей командой параметру t было присвоено соотве...
    Решение задачи
    После упрощения получаем следующее....
    Решение задачи
    Для определения типа экстремума важен знак полученного выражения. Определяется этот знак с помощью процедуры sign()....
    Решение задачи
    Поскольку выражение отрицательно, приходим к выводу, что найденная точка является точкой максимума. Процедуру исследования функции на экстремум можно практически полностью переложить на плечи Mapl...
    Задача 2.19
    Найти экстремумы функций. Сразу определим процедуру, которая и возьмет на себя основную работу по исследованию функции на экстремум. Комментарии к процедуре размещены ниже....
    Решение задачи
    Параметром процедуры является функция (f), исследуемая на экстремум. После зарезервированного слова local перечисляются локальные переменные (они доступны и используются только внутри процедуры):...
    На заметку
    Дело в том, что Maple пытается получить решение уравнения, в котором производная приравнена к нулю, в аналитическом виде. Но если такое аналитическое выражение в дальнейшем нужно исследовать на пре...
    На заметку
    Вместо структуры окончания условного оператора if можно использовать конструкцию end if. Так, безусловно, длиннее, зато понятнее! Если вторая производная в точке меньше нуля (В0), в список результа...
    Решение задачи
    Примечание
    Как можно видеть, сообщение о том, что в точке х=2 необходимо дополнительное исследование, выведено дважды. Причина в том, что при вычислении производной и определении точек, где она равна нулю, ко...
    Решение задачи
    Не составляет большого труда написать процедуру, которая при исследовании функции на экстремум будет вычислять, если это необходимо, и производные более высоких порядков, чем второй. Принципиально...
    Частные производные
    Для вычисления частных производных применяется процедура diff (). В случае функции нескольких переменных через запятую указываются те из них, по которым берется производная (при этом допускается и...
    Задача 2.20
    Найти частные производные первого и второго порядков от функции и(х,у) = х'+у*-4х2у2. Определим функцию двух аргументов (аргументы указываются через запятую и заключаются в скобки)....
    Решение задачи
    Используя для записи результата процедуру дифференцирования в неактивной форме (Diff ()), вычислим частную производную по х....
    Решение задачи
    Прочие производные вычисляются аналогично....
    Решение задачи
    Стоит обратить внимание на то, что при вычислении частных производных можно использовать оператор $....
    Решение задачи
    Однако если производных много и они достаточно высокого порядка, запись отдельной команды для каждой такой производной становится утомительным занятием. Иногда в таких случаях полезно определять с...
    Задача 2.21
    Найти частные производные первого и второго порядков от функции и (х,у) = х". Как и раньше, определяем функцию....
    Решение задачи
    Однако чтобы не вводить для вычисления производных пять отдельных команд, определим всего одну процедуру, которая будет вычислять все производные вплоть до второго порядка от функции двух неизвест...
    Решение задачи
    Функция и является параметром процедуры. Первый цикл с оператором do используется для вычисления производных первого порядка. Условие s in x,y указывает на то, что переменная s пробегает значения...
    Решение задачи
    В частности, можно проверить, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования....
    Совет
    Как можно видеть, выводимые на экран выражения для частных производных допус-некоторое упрощение. Чтобы это выполнялось автоматически, соответствующую команду (например, simplify()) можно разместит...
    Дифференцирование неявно заданных функций нескольких переменных
    При дифференцировании неявно заданных функций нескольких переменных, как и в случае функции одной переменной, используется процедура implicitdiff(). В данном случае несколько изменяется способ ее...
    Решение задачи
    Переменную S представим как последовательность списков. Каждый список состоит из двух элементов, по которым следует брать производные....
    Решение задачи
    Теперь запрограммируем вычисление производных второго порядка. Для этого введем переменную s, которая будет принимать значения элементов последовательности S, т.е. переменная s является списком (с...
    Решение задачи
    В рамках оператора цикла в левой части равенства вызывается неактивная форма процедуры Diff() для вывода на экран непосредственно символа вычисления производной, а в правой части — процедура impli...
    Решение задачи
    Параметрами процедуры implicitdiff () являются множество с элементами-уравнениями, определяющими функции ({Eql,Eq2}), множество с элементами-функциями ({y,z}), функция, от которой берется производ...
    Решение задачи
    Производная второго порядка вычисляется так же, как и производная первого порядка, только переменная дифференцирования указывается дважды....
    Решение задачи
    В последнем выражении представим полиномы в виде произведения с помощью процедуры factor()....
    Решение задачи
    В результате вычислительному ядру Maple удалось сгруппировать знаменатель полученного выражения. При желании это выражение можно разложить на сумму дробей. В полученных выражениях для производных...
    Замена переменных
    Очень часто в выражениях, содержащих производные, приходится переходить к новым переменным....
    Примечание
    Если необходимо выполнить замену переменных в дифференциальном выражении, I в Maple в пакете PDEtools есть процедура dchange(). Первым параметром этой процедуры указывают равенство (или множество,...
    Решение задачи
    Новая переменная вводится согласно соотношению х =ехр(/)...
    Решение задачи
    После упрощения получаем следующее...
    Решение задачи
    Замену переменных можно выполнить и в том случае, если переменных несколько. Рассмотрим выражение...
    Решение задачи
    В этом выражении перейдем к новым переменным и и v согласно соотношениям х = uv и у = (и1 -v2)/2 , и после упрощения получим следующее....
    Решение задачи
    Процедура dchange() полезна во многих случаях. Однако желательно уметь обходиться и без нее. Рассмотрим, как без специальных команд приведения выражений к новым переменным выполнить подобные замен...
    Задача 2.24
    Преобразовать к полярным координатам уравнение у'(х) =x+y/x-y Опишем процедуру, посредством которой в дальнейшем будет осуществляться переход к новым координатам. Параметрами процедуры будут новая...
    Решение задачи
    Тело процедуры состоит из одного выражения, определяющего производную от старой функции по старой переменной в терминах новой функции и новой переменной. Определим функции перехода от декартовой с...
    Решение задачи
    Теперь запишем декартовы координаты через полярные (это понадобится в дальнейшем)....
    Решение задачи
    Новая процедура позволяет выразить производную в полярных координатах....
    Решение задачи
    Исходное уравнение будет записано следующим образом....
    Решение задачи
    Поскольку предварительно декартовы координаты были выражены через полярные, правая часть равенства будет представлена тоже в полярной системе координат. В полученном уравнении выделим производную....
    Решение задачи
    Таким образом, можем записать окончательный результат....
    Решение задачи
    В последней команде левая часть уравнения нужна для формального отображения символа производной. Однако следует иметь в виду, что вычислительным ядром Maple левая часть уравнения как производная н...
    Задача 2.25
    Перейти к новым переменным и , v, w в уравнении В отличие от предьщущего случая, здесь выражение содержит частные производные, а функции (старая и новая) являются функциями двух переменных. Опреде...
    Решение задачи
    Теперь у процедуры три параметра-функции, определяющие правила перехода от старых переменных и функции к новым. В соответствии с правилами перехода к новым переменным, определяем юцедуру, аргумент...
    Решение задачи
    Уравнения Eql i1 E(J2 связывают старые производные с новыми. Система этих уравнений решает относительно производных от функции z (команда solve()). мее задаем закон61 перехода от старых переменных...
    Решение задачи
    Переменной S присваиваем в качестве значения результат выполнения процедуры преобразования производных. S:=VarChange(F,G,H,u,v,w);...
    Решение задачи
    После этого в уравнении Eq производные от z по х и у, а также сами пере-Гменные и функцию следует выразить через новые параметры. Выполняется такая замена с помощью процедуры subs()....
    На заметку
    Ссылки rhs (S [ 1 ]) и rhs (S [ 2 ]) возвращают выражения для частных производных функции z — это правые части первого и второго равенств, являющихся элементами множества S....
    Решение задачи
    Полученное таким образом уравнение умножим на знаменатель правой части (знаменатель возвращается процедурой denom{))....
    Решение задачи
    После упрощения имеем следующее....
    Решение задачи
    Это уравнение, в частности, можно сократить на экспоненту....
    Решение задачи
    Если уравнение сократить еще на один общий множитель, получим окончательный ответ....
    Решение задачи
    Разумеется, сокращение совсем не обязательно было выполнять "в два этапа", но так нагляднее....


- Начало -