Вступление   Главы  1  2  3  4  5  6  7   Приложения  А  Б  

Глава 4. Интегрирование


    Глава 4. Интегрирование
    Глава 4. Интегрирование Вычисление неопределенных интегралов Вычисление определенных интегралов Интегральные преобразования Двойные интегралы Тройные интегралы Криволинейные интегралы Поверхностны...
    Вычисление неопределенных интегралов
    Неопределенные интегралы в Maple вычисляются с помощью процедуры int(). Первым параметром этой процедуры указывается интегрируемое выражение, вторым — переменная интегрирования. Процедура имеет не...
    Вычисление определенных интегралов
    Для вычисления определенных интегралов тоже используется процедура int(). Разница заключается в способе ее вызова: в случае определенного интеграла для переменной интегрирования после знака равенс...
    На заметку
    Несобственным называется интефал, содержащий особенность (например, неограниченные пределы интефирования или сингулярность подынтефальной функции на одной или обеих фаницах интеграла). Задача 4.6 Н...
    На заметку
    Аргументом процедуры plot() является команда op(lhs(%)). Команда lhs(%) возвращает в качестве значения левую часть последнего равенства, т.е. символьное выражение интеграла. Команда op(lhs(%)) возв...
    Интегральные преобразования
    Интегральные преобразования и, в первую очередь, преобразование Фурье находят самое широкое практическое применение. Интегральное преобразование Фурье в Maple выполняется с помощью процедур fourie...
    Решение задачи
    Чтобы упростить эти выражения, сделаем предположение о положительности переменной х....
    Решение задачи
    Выяснить, какова была исходная функция, можно следующим образом....
    Решение задачи
    Здесь команда Re () вычисляет действительную часть аргумента, alm() — комплексную....
    На заметку
    Умножение выражения на комплексную единицу со знаком минус (-1) не эквивалентно вычислению комплексной части выражения. Это имеет место только в тех случаях, когда выражение чисто комплексное. Осно...
    На заметку
    Дело в том, что преобразованию Фурье можно подвергнуть далеко не каждую функцию. Например, проинтегрировать f(x ) = х при преобразовании Фурье не удастся. В отличие от преобразования Фурье, при пре...
    Задача 4.9
    Найти изображение Лапласа для функции f(t) = 3Heaviside(t)+2cos(3t). С точки зрения командного языка Maple принципиальной разницы в том, какое преобразование выполнять — Фурье или Лапласа, нет....
    Решение задачи
    Функция Хевисайда, как уже отмечалось, отлична от нуля и равна 1 только при положительном значении аргумента. Определенная выше функция является достаточно неудобной для преобразования Фурье, одна...
    Решение задачи
    Следует иметь в виду, что основные трудности при использовании преобразования Лапласа возникают, в основном, при попытке восстановить функцию по ее образу. В этих случаях Maple полезен, как никогд...
    Задача 4.10
    Найти оригинал для изображения...
    Решение задачи
    Приведенный выше пример особых комментариев не требует. Для определения функции по ее образу была использована процедура invlaplace(), синтаксис вызова которой практически такой же, как и у процед...
    Двойные интегралы
    В Maple для вычисления двойных интегралов, в отличие от обычных, специальной процедуры не существует. Однако в пакете student есть процедура Doubleint(), которая имеет только неактивную форму и ис...
    На заметку
    Все же в некоторых случаях процедуру Doubleintf) можно использовать для вычисления двойных интегралов, о чем и пойдет речь ниже. В следующем примере процедура Doubleint() используется для вычислени...
    Задача 4.11
    Вычислить интеграл. Чтобы процедура Doubleint() стала доступной, следует подключить пакет student....
    Решение задачи
    Для вычисления такого интеграла воспользуемся процедурой value(), указав в качестве ее параметра рассматриваемый интефал (ссылка на этот интефал выполнена посредством переменной среды %):...
    Решение задачи
    Несмотря на кажущуюся простоту, использовать процедуру Doubleint() непосредственно для вычислений следует крайне осторожно. Например, поменяем в вызове этой процедуры порядок переменных интегриров...
    Решение задачи
    Если теперь запросить у Maple значение интеграла, получим некорректный результат....
    Решение задачи
    В данном случае вычислительным ядром Maple сначала было выполнено интегрирование по х в указанном диапазоне, а затем по у — в полном соответствии с порядком следования переменных интегрирования пр...
    Задача 4.12
    Вычислить интеграл xyldxdy, если область ограничена параболой у1 = 2рх и прямой х = р/2 (р0). Прежде всего определим область интегрирования. Поскольку кривые, ограничивающие область интегрирования...
    Решение задачи
    Графики построены в безразмерных переменных (нормированных на р) с явным указанием числа базовых точек по каждой из осей (grid=[50,50]), по которым они отображаются. Далее декларируем положительно...
    Решение задачи
    Чтобы воспользоваться для записи двойного интеграла процедурой Doubleint(), подключаем пакет student....
    Решение задачи
    Теперь осталось этот повторный интеграл вычислить. Примем во внимание следующее. Последнее равенство присвоено в качестве значения переменной *. Вычисляемый двойной интеграл — это левая часть указ...
    Решение задачи
    Левая часть последнего равенства, разумеется, может быть пропущена — по усмотрению пользователя. Часто при вычислении интегралов приходится переходить к новым координатам. В Maple эта операция (пр...
    Задача 4.13
    Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл Как обычно, подключаем пакет....
    Решение задачи
    При переходе к полярным координатам используются переменные гиф. Обе переменные, по определению, неотрицательны. Это обстоятельство относительно переменной г декларируем сразу (тогда в подынтеграл...
    Решение задачи
    Замена переменных в подынтегральных выражениях осуществляется с помощью процедуры changevar(). Первым параметром этой процедуры указывается список равенств, определяющих переход от одних переменны...
    Решение задачи
    Теперь следует записать в новых переменных уравнения, определяющие область интегрирования. Переменной Omega присвоим в качестве значения определяющее область интегрирования неравенство (в декартов...
    Решение задачи
    На заметку Переменная Omega выглядит в области вывода как омега. Переходим к полярным координатам....
    Решение задачи
    Неравенство для области интегрирования выглядит теперь следующим образом....
    Решение задачи
    На заметку
    Кстати, замену переменных (т е. выполнение перехода от декартовых координат к полярным в выражении для области) можно осуществить с помощью стандартной процедуры changecoords(). Таким образом, исхо...
    Решение задачи
    Видим, что и в достаточно простых случаях вычисление двойных интегралов требует от пользователя определенных усилий. Конечно же, Maple в полной мере избавить от рутинной работы не может, но все же...
    Тройные интегралы
    Принципиальное отличие тройных интегралов от двойных состоит в том, что теперь появляется еще одна (третья) переменная интегрирования. Во всем остальном они схожи. Как и в случае двойных интеграло...
    Задача 4.14
    Вычислить интеграл При этом главной проблемой является определение области интегрирования. В условии задачи заданы четыре уравнения, определяющие эту область. Три последних — уравнения плоскостей....
    На заметку
    Трехмерные поверхности строятся с помощью процедуры plot 3d (). Дпя вызова этой процедуры никакой специальный пакет подключать не нужно. Параметры процедуры — уравнение поверхности и диапазон измен...
    Решение задачи
    Область интегрирования получается, если эту поверхность рассечь тремя плоскостями: а)плоскостью, проходящей через ось z и прямую у=х в плоскости XY; б)плоскостью, параллельной осям z и у и пересек...
    Задача 4.15
    Вычислить интеграл Первое, что сделаем после подключения пакетов (student — для использования процедур Tripleint() и changevar(), a plots — для вызова процедуры implicitplot3d()), — определимся с...
    На заметку
    Если пользователь в рабочем листе увидит рисунок, несколько отличающийся от приведенного выше, следует воспользоваться контекстной панелью трехмерной графики Что касается процедуры implicitplot3d()...
    Решение задачи
    Теперь осталось записать в новых переменных уравнения, определяющие границу области интегрирования. Для этого декартовые координаты выражаем через цилиндрические....
    Решение задачи
    Примечание
    Стандартная процедура changecoords () после подключения пакета plots недоступна -будет вызвана одноименная процедура из указанного пакета. В результате уравнение конуса будет записано следующим обр...
    Решение задачи
    После упрощения получаем достаточно простое равенство....
    Решение задачи
    Теперь можно вычислить интеграл....
    Решение задачи
    Следует отметить, что в цилиндрических координатах переход к повторному интегралу от тройного осуществлялся безотносительно к повторному интегралу, записанному в исходных декартовых координатах. Э...
    Задача 4.16
    Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у1, z = 2x2+2y2 Чтобы определить объем области, следует вычислить тройной интеграл по ней (подынтегральная функция равна 1)....
    Решение задачи
    Чтобы наглядно представить саму область интегрирования, поступим следующим образом. Сначала построим две параболические поверхности, ограничивающие рассматриваемую область сверху и снизу. Поверхно...
    Решение задачи
    На следующем рисунке показаны поверхности, ограничивающие область интегрирования сбоку....
    Решение задачи
    Вооружившись такими наглядными иллюстрациями, определим границы интегрирования по каждой из переменных и запишем исходный интеграл через повторный....
    Решение задачи
    Теперь этот интеграл можно вычислить, в результате чего получим значение объема рассматриваемой области....
    Решение задачи
    Выше для получения значения выражения, содержащего неактивную процедуру, была вызвана процедура value ()....
    Криволинейные интегралы
    Для вычисления криволинейных интегралов (перюго рода) в пакете student предназначена процедура Lineintf) (она имеет только неактивную форму).Первым параметром этой процедуры указывается интегрируе...
    Задача 4.17
    Вычислить интеграл по контуру С, где С — арка циклоиды: Подключаем пакет и строим параметрически заданную кривую, по которой следует выполнять интегрирование. При построении графика из параметриче...
    Решение задачи
    Поскольку до введения интеграла параметрические зависимости для х и у заданы не были, интеграл отображен в обобщенном символьном виде. На следующем этапе с помощью параметрических зависимостей, со...
    Решение задачи
    Теперь, когда параметрические зависимости заданы, можно вычислить интеграл....
    Решение задачи
    Последнее выражение следует упростить. При упрощении в процедуре simplify!) после параметра — переменной среды %, ссылающейся на значение интеграла — указана опция symbolic. В этом случае упрощени...
    Решение задачи
    Криволинейные интегралы находят вполне конкретное практическое применение. В частности, с помощью криволинейных интегралов (второго рода) можно вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Наибо...
    Задача 4.18
    С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (Декартов лист). Формально площадь фигуры, ограниченной кривой, может быть записана следующим образом....
    Решение задачи
    Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо параметризировать кривую, заданную следующим уравнением....
    Решение задачи
    Предположим, что вдоль кривой координаты х, у и переменная-параметр t связаны следующим соотношением....
    Решение задачи
    Подставляем это соотношение вместо у в уравнение кривой....
    Решение задачи
    Полученное уравнение (в переменных х и t) решаем относительно х....
    Решение задачи
    Среди найденных таким образом решений одно является нетривиальным. Это и есть искомая зависимость переменной х от параметра t....
    Решение задачи
    Теперь зависимость переменной у от параметра t получить несложно....
    Решение задачи
    Ниже представлена область, площадь которой вычисляется....
    Решение задачи
    Наконец, вычисляем площадь....
    Решение задачи
    Полученное выражение достаточно громоздко. Кроме того, оно является комплексным. Последнее обстоятельство объясняется теми алгоритмами, которые используются вычислительным ядром Maple при вычислен...
    Решение задачи
    Видим, что после упрощения результат выглядит вполне компактно....
    Поверхностные интегралы
    Поверхностные интегралы, как и криволинейные, делятся на интегралы первого и второго рода. В данном случае будут рассматриваться поверхностные интегралы первого рода, для которых поверхность, по к...
    Задача 4.19
    Найти площадь поверхности z =ху , отсекаемой плоскостями х + у = 1, х =0, у = 0, z = 0. Для большего удобства определим процедуру, посредством которой поверхностный интеграл будет сводиться к повт...
    Примечание
    Из сказанного выше следует, что если проекция поверхности интегрирования такова, что сразу указать диапазон изменения по каждой переменной не удается, — процедура для вычисления интеграла по такой...
    Решение задачи
    В процедуре локальным переменным t и и присваиваются в качестве значений левые части аргументов xRange и yRange. Эти параметры являются равенствами (например, х=а. .Ь). Следовательно, левая часть...
    Решение задачи
    Теперь, применяя описанную выше процедуру, сможем вычислить интеграл....
    Решение задачи
    Понятно, что подобные процедуры наиболее эффективны в тех случаях, когда нужно решать большое число стереотипных задач. Кроме того, необходимым условием применения данной процедуры для вычисления...
    Задача 4.20
    Вычислить поверхностный интеграл первого рода от функции f(x,y) - х1 +у2 по границе тела В первую очередь необходимо определиться с поверхностью, по которой вычисляется интеграл. В принципе, повер...
    Решение задачи
    Интеграл разобьем на две части: сначала вычислим интеграл по боковой поверхности конуса, а затем — интеграл по плоскости. Задаем уравнение боковой поверхности....
    Решение задачи
    Кроме того, определяем подынтегральную функцию....
    Решение задачи
    Эта функция в дальнейшем при вычислении интеграла будет умножаться на квадратный корень (с частными производными), который определим как функцию R двух переменных....
    Решение задачи
    Можно проверить, чему эта функция равна для заданной ранее функции z....
    Решение задачи
    Это выражение упрощаем и присваиваем в качестве значения переменной А....
    Решение задачи
    Как уже отмечалось, исходный интеграл (его значение запишем в переменную S) представляем в виде двух интегралов (это будут интегралы 1п[1] и 1п[2] — элементы массива In)....
    Решение задачи
    На заметку
    Массив является множеством индексированных элементов. Во многом он напоминает список. Ссылка на элемент массива выполняется путем указания в квадратных скобках после названия массива индекса соотве...
    Решение задачи
    Полученное таким образом выражение интефируем по у в пределах от -1 до 1...
    Решение задачи
    Это значение присваиваем элементу 1п[1]....
    Решение задачи
    Второй интефал будем вычислять через двойной. Но прежде заметим, чтс на рассматриваемой поверхности z=l все частные производные равны нулю, и поэтому корень, на который следует умножить подынтефал...
    Решение задачи
    При таком описании интефала его можно вычислить с помощью процедуры value(). Затем это вычисленное значение присваиваем элементу 1n[2]....
    Решение задачи
    Суммарный интефал равен следующему....
    Решение задачи
    На заметку
    Если просто вызвать процедуру value(In[2]), то значение интеграла будет вычислено, но не будет присвоено элементу 1n[2] в качестве значения. Этот элемент так и останется интегралом в символьном вид...
    Решение задачи
    Кроме того, можно воспользоваться командой приведения к общему знаменателю....
    Решение задачи
    При этом за скобки будет вынесен еще и множитель 1/2....
    Заключительные замечания
    На этом описание основных тем из курса математического анализа заканчивается. Безусловно, возможности Maple в данной области несоизмеримо шире. Однако подходов, описанных в главах 2—4, должно быть...
    Контрольные вопросы
    1.Каков результат выполнения приведенных ниже команд? a)int(l,x); 6)Int(cos(x),x); в) int(x,x=O..l); г)Int(sin(x),x=O..Pi); 2.Переменная у описана следующим образом: y:=t-t*x. Чему равен результат...


- Начало -