Вступление   Главы  1  2  3  4  5  6  7   Приложения  А  Б  

Глава 5. Дифференциальные уравнения


    Глава 5. Дифференциальные уравнения
    Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Приближенные методы решения дифференциальных уравнений Уравнения в частных производных Заключительные замечания Контрольные вопросы...
    Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
    Сразу следует отметить, что с обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами этих уравнений Maple справляется достаточно неплохо. Если уравнение в принципе решается, то Maple, скорее всег...
    Задача 5.1
    Составить дифференциальное уравнение, описывающее падение парашютиста, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости. В первую очередь определяем уравнение, присвоив его в...
    Решение задачи
    На заметку
    Уравнение есть прямым следствием второго закона Ньютона. Если координатную ось выбрать так, чтобы она была направлена вниз, т.е. в направлении к поверхности Земли, а начало отсчета совместить сточк...
    Решение задачи
    После этого уравнение можно решать....
    Решение задачи
    Первым аргументом процедуры dsolve() указано множество, состоящее , из уравнения и начальных условий. Уравнение решается относительно функции x(t). На заметку Задачу поиска решения уравнения (сист...
    Решение задачи
    Чтобы задать функциональную зависимость x(t) согласно полученному выше равенству и не набирать его при этом непосредственно с клавиатуры, Воспользуемся процедурой unapply(). Эта процедура позволяе...
    Решение задачи
    Первым параметром процедуры unapply() указывается выражение, из которого "извлекается" функциональная зависимость, а вторым параметром — переменная, по отношению к которой определяется данная функ...
    Решение задачи
    Скорость парашютиста в таком случае дается следующей закономерностью....
    Решение задачи
    Полученное выражение можно упростить, причем существенно — с использованием гиперболических функций. Однако это задание оставляем читателю для самостоятельного решения. Далее исследуем динамику па...
    Решение задачи
    После этого вычисляем предел, к которому стремится скорость при стремлении времени к бесконечности....
    Решение задачи
    Таким образом, в пределе бесконечно больших времен скорость парашютиста выходит на стационарное значение — движение будет равномерным. Еще один интересный пример — математический маятник с трением...
    Задача 5.2
    Составить и решить дифференциальное уравнение для математического маятника с трением. В отличие от уравнения для маятника без трения, в данном случае будет присутствовать слагаемое, пропорциональн...
    Решение задачи
    Данное уравнение можно решить в общем виде; в этом случае начальные , условия не указываются....
    Решение задачи
    Переменные среды _С1 и _С2 являются, с математической точки зрения, Произвольными константами, которые в общем случае определяются из дополнительных условий — как правило, начальных. Далее с помощ...
    Решение задачи
    Если предположить, что в начальный момент отклонение маятника от положения равновесия равнялось А, а начальная скорость была равна нулю, то константы С1 и С2 можно определить как решение системы у...
    Решение задачи
    Чтобы переменным _С1 и _С2 присвоить соответствующие значения (при решении такие значения находятся, но не присваиваются), можно воспользоваться процедурой assign(). Если в качестве аргумента этой...
    Решение задачи
    Наличие в выражении экспонент смущать не должно: если параметр a меньше частоты в (это соответствует затухающим колебаниям), то показатели в экспонентах становятся комплексными и решения выражаютс...
    Решение задачи
    Положив ю равной 1, переходим фактически к безразмерному времени (от t к mi). При этом параметр а можно интерпретировать как нормированный на частоту. Однако сделанные замечания носят скорее вспом...
    Решение задачи
    Далее строим график (если точнее, то поверхность) зависимости координаты маятника от времени и параметра а, определяющего трение в системе....
    Решение задачи
    Несложно заметить, что с увеличением силы трения амплитуда колебаний затухает быстрее — что и не удивительно! Приведенные выше примеры достаточно просты. Но Maple справляется и с более сложными за...
    Задача 5.3
    Найти решение задачи Коши. В данном случае укажем уравнение, равно как и начальное условие, непосредственно аргументом процедуры dsolve()....
    Решение задачи
    Как можно видеть выше, получаем решение. Иногда, если Maple не может найти решение в классе элементарных функций, последнее представляется в виде интегралов. Ниже такая ситуация проиллюстрирована...
    Задача 5.4
    Найти общее решение уравнения y(x)+exp(-x)y=sin(x)....
    Решение задачи
    Решение представлено в виде интеграла, который вычислить аналитически не удается, однако при необходимости могут быть получены приближенные оценки. Небезынтересен также и тот факт, что в Maple мог...
    Задача 5.5
    Найти решение задачи Коши Задаем непосредственно уравнение....
    Решение задачи
    В результате получено два решения, и оба корректные. По сравнению с предыдущими примерами, процедура принципиально не изменилась, однако обозначения намного понятнее. Тем не менее увлекаться подоб...
    Задача 5.6
    Найти общее решение системы уравнений...
    Решение задачи
    Однако не всегда удается получить точное решение. Иногда приходится довольствоваться и приближенным. Именно об этом далее пойдет речь....
    Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
    Среди приближенных методов решения дифференциальных уравнений достаточно распространенным является метод разложения по малому параметру. Идея, положенная в основу метода, проста: в уравнении (или...
    На заметку
    К сожалению, далеко не в каждом уравнении такой малый параметр можно выделить. В качестве примера рассмотрим следующую задачу....
    Задача 5.7
    Найти приближенное решение в виде многочлена второго порядка по малому параметру для задачи Коши. Задаем исходное уравнение....
    Решение задачи
    Поскольку это уравнение первого порядка, начальное условие только одно....
    Решение задачи
    Строго говоря, данное уравнение вычислительным ядром Maple решается точно. Ниже приведена соответствующая команда, однако, без указания результата. Причина проста -— результат этот весьма нетривиа...
    Решение задачи
    Примечание
    Представленная выше команда, с помощью которой функции у(х) присваивается значение, на самом деле функцию не определяет. Если в командной строке ввести команду у(х), в области вывода появится уО(х)...
    Решение задачи
    Преобразуем это уравнение, перенеся все слагаемые, содержащие малый параметр, в левую часть, а слагаемые, не содержащие малый параметр, — в правую. Сделать это можно с помощью процедуры isolate!)....
    Решение задачи
    Теперь можно собрать слагаемые при соответствующих степенях малого параметра (epsilon)....
    Решение задачи
    Неизвестные функции yO(x), yl(x) и у2(х) выбираются так, чтобы коэффициенты при степенях малого параметра (не всех, а только до второго включительно, до которого раскладывается в ряд искомая функц...
    Решение задачи
    Приравнивая к нулю коэффициент при первой степени малого параметра, получаем еще одно уравнение....
    Решение задачи
    В этом уравнении, помимо yl(x), присутствует и уО(х). Поэтому, прежде чем решать уравнение Eq_l, необходимо сначала решить уравнение Eq 0, найти тем самым уО(х), после чего можно будет решать Eq_l...
    На заметку
    Коэффициент при первой степени параметра epsilon определяется процедурой coef f (). Первым ее аргументом указана левая часть уравнения Eq (lhs(Eq)) — именно в левой части содержатся слагаемые с eps...
    Решение задачи
    Решать уравнения Eq_0, Eq_l и Eq 2 следует строго в той последовательности, в какой они вводились. Причина очевидна — каждое последующее уравнение содержит, помимо неизвестной функции, еще и функц...
    Решение задачи
    Ниже, согласно полученному решению, выполняется присваивание....
    Решение задачи
    Внимание! В этом месте функция уО(х) "технически" становится переменной! Ситуация такая же, как и с функцией у(х). Например, если ввести команду уО(х), получим ожидаемый результат....
    Решение задачи
    Однако если в приведенном выше вызове изменить аргумент (yO(t)), нужного значения (1/t) не получим. Решаем теперь уравнение Eg 1 и находим yl(x)....
    Решение задачи
    В данном случае, перед присваиванием, раскладываем выражение для yl(x) на сумму дробей (процедура expand(%))....
    Решение задачи
    Наконец, находим у2(х). Последовательность действий такая же....
    Решение задачи
    Чтобы получить значение у(х), воспользуемся процедурой eval(). В этом случае значение у(х) вычисляется, согласно выполненному в самом начале задачи разложению у(х) в ряд по малому параметру, с уче...
    Решение задачи
    Задача несколько усложняется, если малый параметр присутствует и в начальных условиях, как в следующей задаче....
    Задача 5.8
    Найти приближенное решение в виде многочлена второго порядка по малому параметру для задачи Коши 1 + х + еу, у(0) = sin(s). Как и прежде, в первую очередь задаем само уравнение....
    Решение задачи
    Начальные условия в этом случае определяются через малый параметр....
    Решение задачи
    Решать уравнение будем таким образом, чтобы, при необходимости, можно было легко изменить порядок разложения (в условии сказано, что искать решение следует в виде многочлена второго порядка по мал...
    Решение задачи
    Формировать ряд по малому параметру для функции у(х) будем следующим образом: сначала присваиваем у(х) значение уО(х), а затем будем добавлять соответствующие слагаемые....
    Решение задачи
    Слагаемые добавлять будем с помощью оператора цикла....
    Решение задачи
    В рамках этого цикла на каждом очередном шаге значение у(х) увеличивается на слагаемое, равное произведению параметра epsilon в соответствующей степени на название, формируемое объединением символ...
    Решение задачи
    Исходное уравнение при этом будет иметь такой вид....
    Решение задачи
    Преобразуем это уравнение, перенеся все слагаемые в левую часть....
    Решение задачи
    Далее левую часть уравнения Eq раскладываем в степенной ряд по параметру epsilon в окрестности нуля (команда series(lhs(Eq),epsilon=0,N+l)). Поскольку нас интересуют степени epsilon вплоть до N, в...
    Решение задачи
    Приравнивая коэффициенты разложения к нулю, получаем последовательность уравнений для определения приближенного решения. Ниже такие уравнения формируются и присваиваются в качестве значений переме...
    Решение задачи
    Коэффициент при i-й степени epsilon определяется процедурой coeff(). Степень epsilon указывается третьим параметром процедуры. На следующем этапе выполняем разложение в ряд по малому параметру нач...
    Решение задачи
    Теперь выражение трансформируется в полином....
    Решение задачи
    В этом выражении присутствует функция у(0) (ее значение в точке 0), которая ищется в виде ряда. Поэтому следует выполнить соответствующую замену. Для этого введем переменную s, которой присвоим пе...
    Решение задачи
    Далее посредством оператора цикла к этой переменной будем прибавлять значения в данной точке функций-коэффициентов разложения, умноженных на малый параметр в соответствующей степени....
    Решение задачи
    Теперь выполним замену....
    Решение задачи
    Приравнивая коэффициенты приведенного выше полинома к нулю, получаем начальные условия для каждого из найденных ранее уравнений. Эти условия записываем в переменные inCon0, inConl....
    Решение задачи
    Решаем первое уравнение (приняв во внимание начальные условия)....
    Решение задачи
    Описываем процедуру spDiffSol(), которая будет иметь пять параметров: решаемое дифференциальное уравнение Eq, начальные условия InCon, функция fnc (с указанием аргумента!), относительно которой ре...
    Примечание
    Как сказано выше, второй параметр, определяющий начальные условия, имеет тип раввнство. Это справедливо только в том случае, если такое условие одно. Известно, что [для однозначного решения диффере...
    Решение задачи
    Первой определяется переменная х, которой в качестве значения присваивается операнд указанной аргументом функции fnc (op(fnc)), т.е. ее аргумент. Переменной у присваивается нулевой операнд функции...
    На заметку
    В выражении для F использован оператор композиции §. Если G и f — функциональные операторы (т.е. G(x) и f (x) являются функциями), то оператор L, определенный как L:=G§f, действует следующим образо...
    Примечание
    Удобство подобного подхода с использованием операторного ряда при работе с начальными условиями состоит в то, что нет необходимости отдельно выделять начальную точку для аргумента. Однако это палка...
    Примечание
    Если не использовать процедуру eval(), а просто указать Res:=F(x), то результат выполнения процедуры будет представляться через коэффициенты a[i], без непосредственного вычисления результата их дей...
    Решение задачи
    Ранее отмечалось, что с помощью созданной выше процедуры задачу Ко-ши можно решать для уравнений первого порядка. Но процедура может использоваться и для решения уравнений более высоких порядков....
    Решение задачи
    Это уравнение второго порядка, а малый параметр epsilon при квадратичном по отклонению слагаемом определяет степень ангармонизма (если параметр epsilon равен нулю, определяемые уравнением Eq2 коле...
    Решение задачи
    Еще один распространенный метод поиска приближенных решений дифференциальных уравнений основан на разложении искомой функции в ряд ЛО аргументу в окрестности точки, в которой заданы начальные усло...
    Задача 5.9
    Найти решение в виде ряда для уравнения ху"(х)+у'(х)+ху(х) = чальными условиями у(0) = 1(0) = 0. с начальными условиями y(0)=1, y(0)=0. Это уравнение имеет решение — функцию Бесселя j(x). Ниже поп...
    Решение задачи
    Начальные условия для этого уравнения имеют следующий вид....
    Решение задачи
    Если решать данную задачу с помощью процедуры dsolvef), получим следующий результат....
    Решение задачи
    Чтобы получить приближенное решение в виде ряда, используем все ту же процедуру dsolve() практически с теми же параметрами; в конце добавлена опция series. Решение будет представлено рядом....
    Решение задачи
    Количество слагаемых в ряде определяется значением переменной среды Order; значение этой переменной задает порядок остатка. Например, если нужно, чтобы последнее слагаемое было степени 9 по х, пер...
    Решение задачи
    В этом случае приближенное решение будет следующим....
    Решение задачи
    То, что последнее слагаемое имеет степень 8, объясняется просто: в разложении присутствуют только четные степени х, т.е. коэффициенты при нечетных степенях — нули. Полученное приближенное решение...
    Решение задачи
    Результат преобразования возьмем за основу, для того чтобы задать соответствующую функцию....
    Решение задачи
    Ниже показаны кривые для точного и приближенного решений....
    Решение задачи
    Видим, что в окрестности точки 0, где задавались начальные условия, вполне приемлемо использовать приближенное решение....
    Уравнения в частных производных
    Поиск решений уравнений в частных производных требует определенной изобретательности. Рассмотрим задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка, которые еще называют уравнения...
    Задача 5.10
    Найти решение уравнения u(х,0)=0, x+,t=0. (нижний индекс означает производную), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0)=0, x+,t=0. Рассматриваемое уравнение является уравнением гиперболического...
    Решение задачи
    Для решения этого уравнения воспользуемся процедурой pdsolve() и поручим следующее....
    Решение задачи
    В данном случае функции _F1 () и _F2 () являются произвольными дважды дифференцируемыми функциями. Таким образом, общее решение уравнения iBqn представляется в виде суперпозиции двух функций с соо...
    Решение задачи
    Далее воспользуемся тем, что производная по времени от функции u(x,t) начальный момент равна нулю....
    Решение задачи
    На заметку
    Производная по второму аргументу функции u(x,t) вычисляется посредством оператора эенцирования с указанием в квадратных скобках индекса переменной, по которой числяется производная: D(2](u). Получе...
    Решение задачи
    Видим, что функции _F1 и _F2 с точностью до знака аргумента и конанты С1 совпадают. Константу можно положить равной нулю (несложно доказать, что общности метода это не ограничит), а функцию _F1 об...
    Решение задачи
    Тогда естественно определить функцию F2 следующим образом....
    Решение задачи
    Следовательно, искать решение уравнения нужно в таком виде....
    Решение задачи
    В последнем выражении присутствует уже только одна неизвестная функция F. При этом первое слагаемое F(at+x) описывает волну, распространяющуюся влево, а слагаемое F(-at+x) — волну, которая распрос...
    Решение задачи
    С другой стороны, это функция f (х), т.е. начальное отклонение струны. Для определенности возьмем функцию f (x) в таком виде....
    Решение задачи
    Первоначальный профиль струны, таким образом, имеет форму симметричного треугольника....
    На заметку
    Функция Heaviside(x) равна 1 при х0 и 0 — в противном случае. Функция F тогда равна следующему....
    Решение задачи
    Чтобы отобразить решение графически, присвоим значение символьному параметру а....
    Решение задачи
    Значение функции u(x,t) будет таким....
    Решение задачи
    Динамику системы будем отслеживать с помощью процедуры отображения анимации animate() из пакета plots. Параметры этой процедуры практически такие же, как и у процедуры plot(), но есть некоторые ос...
    Решение задачи
    Деформация бесконечной струны. Первый (начальный) кадр...
    Решение задачи
    Деформация бесконечной струны. Второй кадр...
    Решение задачи
    Деформация бесконечной струны. Третий кадр...
    Решение задачи
    Деформация бесконечной струны. Четвертый кадр...
    Решение задачи
    Деформация бесконечной струны. Пятый кадр Чтобы "оживить" картинку, следует ее выделить (щелкнуть на ней кнопкой мыши) и выбрать на появляющейся в этом случае контекстной панели анимации нужные кн...
    Решение задачи
    Функцию f(x) получаем из функции fl(x) путем нечетного продолжения Последней, т.е. f (x)=fl(x) при х0 и f (x)=-fl(-x) — в противном случае....
    Решение задачи
    Это решение отображаем в динамическом режиме....
    Решение задачи
    Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Первый (начальный) кадр...
    Решение задачи
    Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Второй кадр...
    Решение задачи
    Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Четвертый кадр...
    Решение задачи
    Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Шестой кадр ....
    Решение задачи
    Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Восьмой кадр Выше на первом кадре показано начальное распределение отклонения J(x,0). Полезной является только правая (относительно вертикаль...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Первый (начальный) кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Второй кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Третий кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Четвертый кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Пятый кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Восьмой кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Десятый кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Двенадцатый кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Четырнадцатый кадр...
    Решение задачи
    Колебания полубесконечной струны. Шестнадцатый кадр Начальное состояние такое же, но весь процесс выглядит теперь несколь-иначе. Кадры с первого по пятый позволяют в деталях проследить дина-1ку ра...
    Задача 5.11
    Решить задачу о колебаниях конечной струны Уравнение не изменилось, однако здесь иная область, а также иные начальные и граничные условия. Нулевые граничные условия соответствуют ситуации, когда к...
    Решение задачи
    Решение будем искать методом разделения переменных. Этот метод подразумевает, что поиск решения осуществляется в виде произведения нескольких (в данном случае двух — по количеству переменных) функ...
    Решение задачи
    В полученном в результате выполнения команды выражении сначала указано, в каком виде искалась функция u(x,t), а затем в квадратных скобках после ключевого слова where (в переводе значит где) переч...
    Решение задачи
    На заметку
    Стоит обратить внимание на способ, которым с помощью оператора формирования последовательности ($) задана вторая производная. Здесь использована та особенность, что результатом выполнения команды '...
    Решение задачи
    Параметр Я. должен быть таким, чтобы выполнялось и условие Х(1)=0. Но прежде чем решать соответствующее уравнение (относительно X), присвоим переменной среды _EnvAllSolutions, отвечающей за поиск...
    Решение задачи
    В этом выражении переменная среды _Z1 "нумерует" собственные числа....
    Примечание
    Зыше переменная среды _Z1 в области вывода содержит знак тильды. Это значит, что переменная может принимать далеко не любое значение; на нее наложены ограничения Что это за ограничения, можно узнат...
    Решение задачи
    После этого определим собственные функции — такие функции, которые соответствуют собственным числам задачи....
    Решение задачи
    Решение искалось такое, чтобы оно автоматически удовлетворяло одному из начальных условий (равенство нулю производной в начальный момент). Поскольку возможные значения для lambda определены выше (...
    Решение задачи
    Неизвестные коэффициенты разложения А[п] находятся из начального условия. Согласно условию задачи, в начальный момент профиль струны определяется следующей функцией....
    Решение задачи
    Отсюда, в частности, следует, что искомые коэффициенты совпадают с коэффициентами разложения функции f (х) в ряд Фурье по синусам на интервале от 0 до 1. Ниже эти коэффициенты будут вычислены, одн...
    Решение задачи
    Примечание
    При определении коэффициентов разложения используются индексы. Поскольку все присвоения символьные, массив в этом случае не задается, равно как и функция от ин-зкса. Другими словами, вызовом А[ 1 ]...
    Решение задачи
    Проанализируем полученное решение, отобразив его графически. Для эго прежде присвоим параметрам задачи численные значения....
    Решение задачи
    Кроме того, следует учесть, что ряд для функции u(x,t) бесконечный, поэтому его следует ограничить — нужно оставить конечное число слагаемых. Соответствующее выражение определим следующим образом...
    Решение задачи
    Теперь с помощью процедуры animate () воспроизводим процесс колебаний струны....
    Решение задачи
    Колебания струны конечной длины. Первый (начальный) кадр...
    Решение задачи
    Колебания струны конечной длины. Четвертый кадр...
    Решение задачи
    Колебания струны конечной длины. Седьмой кадр Чтобы изображение струны, представленное на первом кадре, "ожило", нужно воспользоваться кнопкой запуска анимации на контекстной панели. После первого...
    Заключительные замечания
    Главной задачей этой главы бьшо сформировать у читателя представление о возможностях Maple в области решения дифференциальных уравнений. Эта тема достаточно сложна, особенно в той ее части, что ка...
    Контрольные вопросы
    1. Какая процедура используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений? a)diff() 6) solve(] в)dsolve(); г)int(); 2.Какие из приведенных ниже команд корректны? Каков результат их выпол...


- Начало -